Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，直線(xiàn)平面，，，，點(diǎn)在棱上.

（1）求證：；

（2）若是的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；

（3）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2） (3)

【解析】試題分析：（1）由平面，得；再由， 得， 平面.（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，由，，利用夾角公式可求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.（3）由得.再求出平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）證明：因?yàn)?/span>平面，所以，又，所以平面，又平面，故.

（2）因?yàn)?/span>，所以，又由（1）得，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

所以，，所以，

所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.

（3）因?yàn)?/span>平面，所以平面的一個(gè)法向量，由知為的三等分點(diǎn)且此時(shí).在平面中，，，所以平面的一個(gè)法向量.

所以，又因?yàn)槎�面�?/span>的大小為銳角，所以該二面角的余弦值為.