Question

【題目】已知圓的圓心在直線.

(1)若圓與軸的正半軸相切,且該圓截軸所得弦的長(zhǎng)為,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)在(1)的條件下,直線與圓交于兩點(diǎn),,若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;

(3)已知點(diǎn),圓的半徑為3,且圓心在第一象限,若圓上存在點(diǎn),使(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓與軸正半軸相切以及該圓截軸所得弦的長(zhǎng)，求得圓的圓心和半徑，由此求得圓的方程.

（2）聯(lián)立直線的方程和圓的方程，寫出判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)有，化簡(jiǎn)此方程求得的值.

（3）設(shè)，根據(jù)求得的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的問題來求解出圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍.

(1)因?yàn)閳A的圓心在直線上,所以可設(shè)圓心為.

因?yàn)閳A與軸的正半軸相切,所以,半徑.

又因?yàn)樵搱A截軸所得弦的長(zhǎng)為,

所以,解得.

因此,圓心為,半徑.

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由消去,得.

整理得. (★)

由,得, (※)

設(shè),,則,,

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過原點(diǎn),可知,的斜率都存在,且,

整理得,即.

化簡(jiǎn)得,即.

整理得.解得.

當(dāng)時(shí),,. ③

由③,得,從而,

可見,時(shí)滿足不等式(※).均符合要求.

(3)圓的半徑為3,設(shè)圓的圓心為,

由題意,,則圓的方程為.

又因?yàn)?/span>,,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,

整理得.

它表示以為圓心,2為半徑的圓,記為圓.

由題意可知,點(diǎn)既在圓上又在圓上,即圓和圓有公共點(diǎn).

所以,且.

即,且.

所以,即,解得.

所以圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是.