Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，E，F分別為PB，PC中點．
（1）證明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可得PA⊥面ABCD，且ABCD 為矩形，由三角形的中位線的性質可得 EF∥BC，從而有EF∥AD，證得EF∥平面PAD．
（2）E到平面ABC的距離等于

1

2

PA，△ABC的面積等于矩形ABCD面積的一半，代入三棱錐的體積公式進行運算．

解答：解：（1）由三視圖可得PA⊥面ABCD，且ABCD 為矩形，PA=

2

，AB=

2

，AD=2．
∵E，F分別為PB，PC中點，∴EF∥BC，∴EF∥AD，而 AD?平面PAD，EF不在平面PAD內，
故有 EF∥平面PAD．
（2）E到平面ABC的距離等于

1

2

PA=

2

2

，△ABC的面積為

1

2

AB•AD=

2

，
故三棱錐E-ABC的體積為

1

3

•（

1

2

AB•AD ）•

1

2

PA=

1

3

•

2

•

2

2

=

1

3

．

點評：本題考查證明線面平行的方法，三棱錐的體積公式，根據三視圖判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．