Question

已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，且對(duì)任意的，恒成立.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）求證：（）

Answer 1

解：（Ⅰ）將代入直線方程得，∴① 

        ，∴②  

①②聯(lián)立，解得∴     

（Ⅱ），∴在上恒成立；

即在恒成立；            

設(shè)，，

∴只需證對(duì)于任意的有                 

設(shè)，

1）當(dāng)，即時(shí)，，∴

在單調(diào)遞增，∴                  

2）當(dāng)，即時(shí)，設(shè)是方程的兩根且

由，可知，

分析題意可知當(dāng)時(shí)對(duì)任意有；

∴，∴                              

綜上分析，實(shí)數(shù)的最小值為.                              

（Ⅲ）令，有即在恒成立-

令，得         

∴

，∴原不等式得證.