Question

已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，且對任意的，恒成立.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）求證：（）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ） 

（Ⅲ）先證，累加即得.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入直線方程得，∴① 

，∴②  

聯(lián)立，解得∴                                

（Ⅱ），∴在上恒成立；

即在恒成立；         

設(shè)，，

∴只需證對于任意的有                 

設(shè)，

1）當(dāng)，即時(shí)，，∴

在單調(diào)遞增，∴                 

2）當(dāng)，即時(shí)，設(shè)是方程的兩根且

由，可知，分析題意可知當(dāng)時(shí)對任意有；

∴，∴                              

綜上分析，實(shí)數(shù)的最小值為.                             

（Ⅲ）令，有即在恒成立；

令，得        

∴原不等式得證.  

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)解析式的求解及常用方法；不等式的證明．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程問題，在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想．特別是（Ⅲ）的證明，用到了放縮法和裂項(xiàng)相消，此題屬難度較大的題目．