Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．已知為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡
方程.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）先利用平面向量的數(shù)量積確定為鈍角，從而得到當(dāng)時(shí)，必有，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列有關(guān)、、的方程，求出與之間的等量關(guān)系，從而求出離心率的值；（2）先求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用以及、、三點(diǎn)共線列方程組消去，從而得出點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，，，
，，
，所以為鈍角，
由于為等腰三角形，，，即，
即，整理得，即，
由于，故有，即橢圓的離心率為；
（2）易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的斜率為，
故直線的方程為，由于，，
故橢圓的方程為，即，
將直線的方程代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得，解得或，
于是得到點(diǎn)，，
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)在直線上，所以，
，
，
，
即，
整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.兩點(diǎn)間的距離；3.平面向量的數(shù)量積；4.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程