Question

【題目】已知曲線(xiàn)的方程是：，點(diǎn)．

（1）若，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；

（2）若曲線(xiàn)表示圓且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）時(shí)，配方得，這是圓的方程.當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在是，方程為與圓恰好只有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，可求出斜率為，從而求得直線(xiàn)方程為；（2）配方得，圓心的到直線(xiàn)的距離，據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式得.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為：，表示圓，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，故直線(xiàn)與圓相切．

① 當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，即，故，直線(xiàn)的方程為：；

② 當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為：，

綜上得所求直線(xiàn)的方程為或．

（2）配方得，方程表示圓知得．

圓心的到直線(xiàn)的距離，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式得．