Question

【題目】已知函數(shù),令,其中是函數(shù)的導函數(shù).

（1）當時,求的極值;

（2）當時,若存在,使得恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值,無極大值.（2）

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)：，再求導函數(shù)零點。列表分析可得函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，進而確定極值（2）先將不等式存在性問題轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題：，即，，再利用變量分離法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題最大值，最后根據(jù)導數(shù)求函數(shù)最值

試題解析：（1）依題意,則,當時,,令,解得.當時,;當時,.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.所以時,

取得極小值,無極大值.

（2）,當時,即:時,恒有成立.所以在上是單調(diào)遞減.所以,所以,因為存在,使得恒成立，所以,整理得,

又.令,則,構(gòu)造函數(shù),當時,; 當時,,

此時函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,所以,

所以的取值范圍為.