Question

（2013•安慶三模）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

12

=1和雙曲線C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點(diǎn)的坐標(biāo)為（

4 10

5

，

6 5

5

），設(shè)直線l：y=kx+m（其中k，m為整數(shù)）．
（1）試求橢圓C₁和雙曲線C₂ 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與橢圓C₁交于不同兩點(diǎn)A、B，與雙曲線C₂交于不同兩點(diǎn)C、D，問是否存在直線l，使得向量

AC

+

BD

=

0

，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)（

4 10

5

，

6 5

5

），代入橢圓方程即可得出a，進(jìn)而得到橢圓的離心率和雙曲線的離心率，再利用雙曲線的離心率計(jì)算公式和把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代人雙曲線的方程即可得出m²及n²；
（2）分別把直線y=kx+m與橢圓、雙曲線的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用已知向量

AC

+

BD

=

0

，即可得出k、m，再利用判別式及已知m為整數(shù)即可得出．

解答：解：（1）把點(diǎn)（

4 10

5

，

6 5

5

），代入橢圓

x2

a2

+

y2

12

=1得

( 4 10 5 )2

a2

+

( 6 5 5 )2

12

=1，解得a²=16，a=4．
∴橢圓C₁的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1；
∴c²=a²-b²=4，即c=2．
∴橢圓C的離心率為e1=

1

2

，∴雙曲線C₂的離心率為e₂=2，
由題意可得

e2= 1+ n2 m2 =2 ( 4 10 5 )2 m2 - ( 6 5 5 )2 n2 =1

解得

m2=4 n2=12

，
∴雙曲線C₂為：

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）聯(lián)立

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

消去y化簡整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4k²-48=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），則x1+x2=-

8km

3+4k2

，
則△1=(8km)2-4(3+4k2)(4k2-48)＞0      ①
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

消去y化簡整理得：（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則x3+y4=

2km

3-k2

，
則△2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)＞0      ②
因?yàn)?span id="cwkgkmj" class="MathJye">

AC

+

BD

=

0

，所以（x₄-x₂）+（x₃-x₁）=0，（y₄-y₂）+（y₃-y₁）=0，
由x₁+x₂=x₃+x₄得：-

8km

3+4k2

=

2km

3-k2

．
所以km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

．
由上式解得k=0或m=0．
當(dāng)k=0時，由①和②得-2

3

＜m＜2

3

．因m是整數(shù)，
所以m的值為-3，-2，-1，0，1，2，3．
當(dāng)m=0時，由①和②得-

3

＜k＜

3

．因k是整數(shù)，所以k=-1，0，1．
于是滿足條件的直線共有9條．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程得根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等基礎(chǔ)知識及基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．