Question

已知函數(shù)（ 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）已知且，試解關(guān)于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，試求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為

（3）3

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082413290692712069/SYS201308241330504986414666_DA.files/image005.png">，所以，故，

因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以．              3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.

當(dāng)時(shí)，， 5分

故不等式可化為：，

即，           6分

得，

所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解為；

當(dāng)時(shí)，不等式的解為．          8分

（Ⅲ）∵當(dāng)且時(shí)，，

∴.

∴原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為:存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意恒成立.        10分

令.

∵，∴函數(shù)在為減函數(shù).       11分

又∵，∴.          12分

∴要使得對(duì)，值恒存在，只須．     13分

∵，

且函數(shù)在為減函數(shù)，

∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3．   14分

考點(diǎn)：函數(shù)與不等式

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了函數(shù)與不等式的綜合運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的求解屬于中檔題。