Question

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F，直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，設(shè)G是圓C上任意一點．
（1）求點F和圓C的方程；
（2）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（3）在平面上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線方程分離參數(shù)，建立方程，可求F的坐標(biāo)；利用左準(zhǔn)線l與x軸的交點是圓C的圓心，確定圓心坐標(biāo)，又圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，可求圓的半徑，從而可求圓C的方程；
（2）求出G的坐標(biāo)，進(jìn)而求出FG的方程，利用點到直線的距離公式求出C（-4，0）到FG的距離，再利用勾股定理即可求出弦長的一半，進(jìn)而可求解；
（3）假設(shè)存在P（s，t），G（x，y），利用兩點間的距離公式化簡，結(jié)合G在圓C上，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）將直線方程變形為：k（4x+3y+8）+（x-2y+2）=0，
令4x+3y+8=0，x-2y+2=0，解得x=-2，y=0，∴F（-2，0）
∵直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，∴C（-4，0）
∵圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，∴r=4
∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16；
（2）由題意G的橫坐標(biāo)為-3，則y=，∴直線FG的方程為y=（x+2）
∴圓心到直線的距離為d=，∴直線FG被圓C所截得的弦長為2=7；
（3）設(shè)P（s，t），G（x，y），則由，得=
整理得3（x²+y²）+（48+2s）x+2ty+144-s²-t²=0．①
又G（x，y）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x²+y²+8x=0   ②
②代入①，得（2s+24）x+2ty+144-s²-t²=0．
又由G（x，y）為圓C上任意一點可知，
解得：s=-12，t=0．
所以在平面上存在一定點P，其坐標(biāo)為（-12，0）．
點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是假設(shè)存在，建立等式，利用恒成立的條件．