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        1. 【題目】如圖,在平面四邊形中,等邊三角形,,以為折痕將折起,使得平面平面

          (1)設的中點,求證:平面;

          (2)若與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.

          【答案】(1)見證明;(2)

          【解析】

          (1)推導出平面,從而,再求出,由此能證明平面

          (2)由平面,知即為與平面所成角,從而在直角中,,以為坐標原點,分別以所在的方向作為軸、軸的正方向,建立空間直角坐標系.利用向量法能求出二面角的余弦值.

          證明:(1)因為平面平面,

          平面平面,平面,,

          所以平面

          平面,所以

          在等邊中,因為的中點,所以

          因為,

          所以平面

          (2)解:由(1)知平面,所以即為與平面所成角,

          于是在直角中,

          為坐標原點,分別以,所在的方向作為軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系

          設等邊的邊長為,

          ,,,,

          ,,.

          設平面的一個法向量為,

          ,即,

          ,則,,于是.

          設平面的一個法向量為,

          ,即,

          解得,令,則,于是

          所以.

          由題意知二面角為銳角,所以二面角的余弦值為

          練習冊系列答案
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          ②存在點M,使得平面;

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          ④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點M,使得.

          A.1B.2C.3D.4

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