【題目】如圖,在平面四邊形中,
等邊三角形,
,以
為折痕將
折起,使得平面
平面
.
(1)設(shè)為
的中點(diǎn),求證:
平面
;
(2)若與平面
所成角的正切值為
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)推導(dǎo)出平面
,從而
,再求出
,由此能證明
平面
.
(2)由平面
,知
即為
與平面
所成角,從而在直角
中,
,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
,
所在的方向作為
軸、
軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系
.利用向量法能求出二面角
的余弦值.
證明:(1)因?yàn)槠矫?/span>平面
,
平面平面
,
平面
,
,
所以平面
.
又平面
,所以
.
在等邊中,因?yàn)?/span>
為
的中點(diǎn),所以
.
因?yàn)?/span>,
,
,
所以平面
.
(2)解:由(1)知平面
,所以
即為
與平面
所成角,
于是在直角中,
.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
,
所在的方向作為
軸、
軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
.
設(shè)等邊的邊長為
,
則,
,
,
,
,
,
,
,
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則,即
,
令,則
,
,于是
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則,即
,
解得,令
,則
,于是
.
所以.
由題意知二面角為銳角,所以二面角
的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H,點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且
,當(dāng)k最大時(shí),點(diǎn)P恰好在以H,F為焦點(diǎn)的雙曲線上,則k的最大值為_____,此時(shí)該雙曲線的離心率為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,底面是邊長為4的正三角形,
,
底面
,點(diǎn)
分別為
,
的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)在線段上是否存在點(diǎn)
,使得直線
與平面
所成的角的正弦值為
?若存在,確定點(diǎn)
的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓(
)的左右焦點(diǎn)分別為
,橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)
,點(diǎn)
為橢圓
上一點(diǎn),且
.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若,過點(diǎn)
的直線交橢圓于
兩點(diǎn),求線段
的中點(diǎn)
的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為2的正方體中,點(diǎn)M是對角線
上的點(diǎn)(點(diǎn)M與A、
不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
①存在點(diǎn)M,使得平面平面
;
②存在點(diǎn)M,使得平面
;
③若的面積為S,則
;
④若、
分別是
在平面
與平面
的正投影的面積,則存在點(diǎn)M,使得
.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是由兩個(gè)全等的菱形
和
組成的空間圖形,
,∠BAF=∠ECD=60°.
(1)求證:;
(2)如果二面角B-EF-D的平面角為60°,求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形
中,
,過
分別作
,
,垂足分別
,
,已知
,將梯形
沿
同側(cè)折起,得空間幾何體
,如圖
.
1
若
,證明:
平面
;
2
若
,
,線段
上存在一點(diǎn)
,滿足
與平面
所成角的正弦值為
,求
的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邊長為2的等邊和有一內(nèi)角為
的直角
所在半平面構(gòu)成
的二面角,則下列不可能是線段
的取值的是( )
A.B.
C.
D.
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