Question

（2009•崇明縣二模）函數y=2cos(x+

π

4

)cos(

π

4

-x)，x∈[-

π

4

，

π

3

]的值域是

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：先根據兩角和與差的余弦公式以及二倍角公式對函數進行整理，再結合余弦函數的單調性即可得到答案．

解答：解：∵y=2cos(x+

π

4

)cos(

π

4

-x)
=2（cosxcos

π

4

-sinxsin

π

4

）（cosxcos

π

4

+sinxsin

π

4

）
=2×

2

2

×

2

2

×（cosx-sinx）（cosx+sinx）
=cos²x-sin²x
=cos2x．
∵x∈[-

π

4

，

π

3

]⇒2x∈[-

π

2

，

2π

3

]．
∴當2x=0時，y_max=1，
當2x=

2π

3

時，y_min=-

1

2

．
故答案為：[-

1

2

，1]．

點評：本題主要考查三角函數的最值問題以及和差角公式的應用．解決這類問題要熟悉常見函數的單調性，熟悉公式．