Question

若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為：2．（1）過點(diǎn)C（-1,0）且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，若，則當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，求橢圓的方程。
（2）設(shè)M，N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過原點(diǎn)O作直線MN的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程．

Answer 1

（1） （2）

解析試題分析：（1），設(shè)橢圓的方程為
依題意，直線的方程為：
由
設(shè)

                

當(dāng)且僅當(dāng)
此時(shí)       
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，．
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
得，整理得，
于是，．

．
由知．，
將代入上式，整理得．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，的坐標(biāo)滿足方程組
所以，．
由知，即，
解得．          
這時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足．
綜上，點(diǎn)的軌跡方程為　
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．