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        1. 如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PCAC.

          (Ⅰ)求證:PCAB
          (Ⅱ)求直線BC與平面APB所成角的正弦值
          (Ⅲ)求點C到平面APB的距離.

          (I)       取AB中點D,連結(jié)PD,CD.
          AP=BP
          PDAB.          ……………1
          AC=BC,
          CDAB.           ……………2
          PDCD=D,
          AB⊥平面PCD.      ……………3
          PC∩平面PCD.
          PCAB.             ……………4

          (Ⅱ)∵AC=BC,APBP,
          ∴△APC≌△BPC.
          PCBC.
          PCBC.
          又∠ACB=90°,即ACBC.
          ACPCC,
          BC⊥平面PAC.
          AP中點E,連結(jié)BE,CE.
          ABBP
          BEAP.
          ECBE在平面PAC內(nèi)的射影.
          CEAP.
          ∴∠EBC是直線BC與平面APB所成的角                       ……………6
          在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BEAB=,
          sin∠EBC==                                        ……………8

          (Ⅲ)由(Ⅰ)知AB⊥平面PCD,
          ∴平面APB⊥平面PCD.
          CCHPD,垂足為H.
          ∵平面APB∩平面PCDPD,
          CH⊥平面APB.
          CH的長即為點C到平面APB的距離,                           ……………10
          由(Ⅰ)知PCAB,又PCAC,
          ABAC=A.
          PC⊥平面ABC.
          CD平面ABC.
          PCCD.
          在Rt△PCD中,CD
          PC
          CH=
          ∴點C到平面APB的距離為
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          A.B.C.5D.25

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