Question

如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，且，．

（I）求證：平面平面；

（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．

Answer 1

解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解.

答案:解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

依題意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為．

解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

于是，，，．

從而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由．

得

可取，又，

于是，

即，．

故交時(shí)，直線與平面所成的角為．

解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，

于是，，．

從而，即．

同理，即．

又，  平面．

又平面，  平面平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由，得

可取，又，

于是，

即．  故角時(shí)，

即直線與平面所成角為．

 點(diǎn)評(píng)：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解,但運(yùn)用更多的是建空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解