Question

已知函數(shù)y=-x2+ax-

a

4

+

1

2

在區(qū)間[0，1]上的最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：先求對(duì)稱軸，比較對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，利用開口向下的二次函數(shù)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大來(lái)解題．

解答：解：∵y=f（x）=-(x-

a

2

)2+

1

4

（a²-a+2），對(duì)稱軸為x=

a

2

，…1
（1）當(dāng)0≤

a

2

≤1時(shí)，即0≤a≤2時(shí)，f（x）max=

1

4

（a²-a+2），
由

1

4

（a²-a+2）=2得a=-2或a=3與0≤a≤2矛盾，不和要求…5
（2）當(dāng)

a

2

＜0，即a＜0時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，f（x）max=f（0），由f（0）=2
得-

a

4

+

1

2

=2，解得a=-6…9
（3）當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1），
由f（1）=2得：-1+a-

a

4

+

1

2

=2，解得a=

10

3

…13
綜上所述，a=-6或a=

10

3

…14

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．關(guān)于不定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論，屬于中檔題．