Question

(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有（為大于1的常數(shù)），記．
(1) 求；
(2) 試比較與的大�。�）；
(3) 求證：

Answer 1

（1）（2）由(1)可得，結(jié)合整體思想來(lái)得到比較大小
（3）由(2)知 ，，（）．結(jié)合放縮法來(lái)得到證明。

試題分析：解：(1) ∵，①  ∴．②
②－①，得，即．  （3分）  在①中令，
可得．∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，． （4分）
(2) 由(1)可得．
．
∴，   （5分）
．而，且，
∴，．∴，（）．（8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴當(dāng)時(shí)，．
∴，（10分）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
另一方面，當(dāng)，時(shí)，


．
∵，∴．
∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．（13分）
∴．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
綜上所述，，（）．（14分）
點(diǎn)評(píng)：考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和關(guān)系的運(yùn)用，以及能結(jié)合已知給定的不等式來(lái)放縮法得到證明。