Question

如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為AB=2，BC=6，CD=DA=4，則四邊形ABCD面積為（　�。�

• A．

  16

  3

• B．8
• C．

  32

  3

• D．8

  3

Answer 1

分析：連結(jié)BD，可得四邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△CBD，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、誘導(dǎo)公式和三角形面積公式，化簡(jiǎn)得S=

1

2

（AB•AD+BC•CD）sinA=16sinA．再根據(jù)△ABD和△CBD有公共邊BD，利用余弦定理列式解出cosA的值，從而解得A=120°，代入前面式子即可得出四邊形ABCD的面積．

解答：解：連結(jié)BD，可得四邊形ABCD的面積為
S=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AB•ADsinA+

1

2

BC•CDsinC
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．
S=

1

2

AB•ADsinA+

1

2

BC•CDsinC
=

1

2

（AB•AD+BC•CD）sinA=

1

2

（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）
在△ABD中，由余弦定理可得
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
同理可得：在△CDB中，BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
結(jié)合cosC=cos（180°-A）=-cosA，得64cosA=-32，解得cosA=-

1

2

，
∵A∈（0°，180°），∴A=120°，
代入（*）式，可得四邊形ABCD面積S=16sin120°=8

3

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓內(nèi)接四邊形的各邊之長(zhǎng)，求它的面積．考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、正余弦定理解三角形、三角形面積公式等知識(shí)，考查了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．