Question

【題目】已知橢圓E:過點(diǎn)(0,1)且離心率.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分別交于P,Q兩點(diǎn).若直線l總與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y2=1 (Ⅱ)存在,最小值為1

【解析】

(Ⅰ)由題意可得，根據(jù)離心率及間的關(guān)系即可求解 (Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易知S△OPQ，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx+m,k≠±1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式，借助函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

(Ⅰ)由已知得b=1,,a2=b2+c2,

解得a,b=c=1,

所以橢圓的E方程為y2=1,

(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l為x或x,

都有:S△OPQ22.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx+m,k≠±1,

由,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

∴△=﹣8m2+8+16k2,由題可知,△=0,有m2=2k2+1,

又 可得P(,);同理可得Q(,).

由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d和|PQ|=2|m|,

可得S△OPQd|PQ|=||,

∵m2=2k2+1,

∴S△OPQ,

當(dāng)1﹣k2<0,即k>1或k<﹣1時(shí),S△OPQ22,

當(dāng)1﹣k2>0,即﹣1<k<1時(shí),S△OPQ2,

因?yàn)?/span>0<1﹣k2≤1,

所以3,

所以S△OPQ21,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立.

綜上,當(dāng)k=0時(shí),△OPQ的面積存在最小值為1.