Question

已知點，動圓P經(jīng)過點F，與直線x=-相切，設(shè)動圓的圓心P的軌跡為曲線W，且直線x-y=m與曲線W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）求曲線W的方程；
（2）當(dāng)m=2時，證明：OA⊥OB；
（3）當(dāng)y₁y₂=-2m時，是否存在m∈R，使得=-1？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定動圓圓心P的軌跡是以F為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到曲線W的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；
（3）由于A，B兩點在拋物線上，可得，利用=-1，建立方程，即可求出m的值．
解答：（1）解：過動圓圓心P作PN⊥直線，垂足為N，則有|PF|=|PN|，
∴動圓圓心P的軌跡是以F為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線，
故曲線W的方程為y²=2x．
（2）證明：當(dāng)m=2時，由得x²-6x+4=0，
解得，
因此．
于是=0，
即．
所以O(shè)A⊥OB
（3）解：假設(shè)存在實數(shù)m滿足題意，由于A，B兩點在拋物線上，故
因此．
所以．
由，即m²-2m=-1，得m=1．
又當(dāng)m=1時，經(jīng)驗證直線與拋物線有兩個交點，
所以存在實數(shù)m=1，使得．
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．