Question

【題目】數(shù)列滿足：對一切，有，其中是與無關(guān)的常數(shù)，稱數(shù)列上有界（有上界），并稱是它的一個(gè)上界，對一切，有，其中是與無關(guān)的常數(shù)，稱數(shù)列下有界（有下界），并稱是它的一個(gè)下界.一個(gè)數(shù)列既有上界又有下界，則稱為有界數(shù)列，常值數(shù)列是一個(gè)特殊的有界數(shù)列.設(shè)，數(shù)列滿足，，.

（1）若數(shù)列為常數(shù)列，試求實(shí)數(shù)、滿足的等式關(guān)系，并求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）下面四個(gè)選項(xiàng)，對一切實(shí)數(shù)，恒正確的是.（寫出所有正確選項(xiàng)，不需要證明其正確，但需要簡單說明一下為什么不選余下幾個(gè)）

A. 當(dāng)時(shí)， B. 當(dāng)時(shí)，

C. 當(dāng)時(shí)， D. 當(dāng)時(shí)，

（3）若，，且數(shù)列是有界數(shù)列，求的值及的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）B；（3），.

【解析】

（1）利用列方程，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.

（2）利用（1）的結(jié)論，判斷出錯(cuò)誤選項(xiàng)，由此得出正確選項(xiàng).

（3）對分成兩種情況進(jìn)行分類討論，根據(jù)的上界和下界，列不等式，由此求得的值和的取值范圍.

（1）由于數(shù)列為常數(shù)列，所以，故，即，此方程有實(shí)數(shù)根，故，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）可知，當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，此時(shí)的值與有關(guān)，不一定大于，故ACD三個(gè)選項(xiàng)不正確，B選項(xiàng)正確.

（3） 依題意，大前提為：，

①當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，由（1）知，所以，，.

②當(dāng)不是常數(shù)列時(shí)，由于，，故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.最小值為，設(shè)對一切，有，故（）.

i)當(dāng)時(shí)，，所以，即，故，由于成立，故③成立.由④得，即存在實(shí)數(shù)使上式成立，故，而本題大前提是，所以.此時(shí)，所以.所以，即.

ii)當(dāng)時(shí)，，故.

若，則，，即，則，，其判別式，故不存在使成立.

所以，此時(shí)，，即，故，⑤恒成立.對于⑥，由④的分析可知，，.所以，解得.

綜上所述，，.