Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，其中k∈R．
（1）設(shè)函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零點，求k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

是否存在k，對任意給定的非零實數(shù)x₁，存在惟一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知p（x）=f（x）+g（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在（0，3）上有零點．再由p（x）在（0，3）上有唯一零點和p（x）在（0，3）上有2個零點，進行分類討論，由此能夠求出實數(shù)k的取值范圍．
（2）根據(jù)q（x）=

2k2x+k，x≥0 3x2-2(k2-k+1)x+5，x＜0

，知k≠0．再由當(dāng)x₂≥0時，q（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，得到k≥5；當(dāng)x₂＜0時，q（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，得到k≤5，由此能求出k的值．

解答：解：（1）∵f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，p（x）在（0，3）上有零點，
∴p（x）=f（x）+g（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在（0，3）上有零點．
∴△=（4k²-8k+4）-12k-60≥0，解得 k≤-2，或 k≥7．
若p（x）在（0，3）上有唯一零點，則 p（0）p（3）=（k+5）（7k+26）＜0 ①，
或

△＞0 P(0)=0 P(3)＞0

 ②，或

△＞0 P(0)＞0 P(3)=0

③，或

P(0)＞0 P(3)＞0 △=0

 ④．
解①得-

26

7

＜k＜-5，解②得k∈∅，解③得k=-

26

7

，解④可得 k=-2，或k=7．
若p（x）在（0，3）上有2個零點，則有

△＞0 p(0)＞0 P(3)＞0 0＜ 1-k 3 ＜3

，解得-

26

7

＜k≤-2．
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為[-

26

7

，-2]∪{7}．
（2）函數(shù)q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

，
即q（x）=

2k2x+k，x≥0 3x2-2(k2-k+1)x+5，x＜0

．
顯然，k=0不滿足條件，故k≠0．
當(dāng)x≥0時，q（x）=2k²x+k∈[k，+∞）．
當(dāng)x＜0時，q（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5∈（5，+∞）．
記A=[k，+∞），B∈（15，+∞）．
①當(dāng)x₂＞0時，q（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＜0，且A⊆B，故k≥5；
②當(dāng)x₂＜0時，q（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＞0，且B⊆A，故k≤5；
綜上可得，k=5滿足條件．
故存在k=5，對任意給定的非零實數(shù)x₁，存在惟一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．