Question

已知定義在區(qū)間[-π，

2

3

π]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱，當(dāng)x∈[-

π

6

，

2

3

π]時(shí)，函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)，其圖象如圖所示
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在[-π，

2

3

π]的表達(dá)式；
（Ⅱ）求方程f(x)=

2

2

的解．
（Ⅲ）是否存在常數(shù)m的值，使得|f（x）-m|＜2在x∈[-π，

2π

3

]上恒成立；若存在，求出m的取
值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)圖象中函數(shù)值的最大值判斷出A的值，利用函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)判斷出函數(shù)的周期，進(jìn)而求得ω，把點(diǎn)(

π

6

，1)代入求得φ的值，則當(dāng)x∈[ -

π

6

，

2

3

π ]時(shí)，函數(shù)的解析式可得；進(jìn)而利用函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱利用f(x)=f(-x-

π

3

)求得[-π，

π

6

]的函數(shù)解析式，最后綜合答案可得．
（Ⅱ）分別看-

π

6

≤x≤

2π

3

和-π≤x＜-

π

6

利用（Ⅰ）中函數(shù)的解析式，求得x的值．
（Ⅲ）問題可轉(zhuǎn)化為m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-π，

2π

3

]上恒成立，聯(lián)立方程組利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）x∈[-

π

6

，

2

3

π]，A=1，

T

4

=

2π

3

-

π

6

，T=2π，ω=1
且f（x）=sin（x+φ）過(

π

6

，1)，
∵-

π

2

＜?＜

π

2

∴

π

6

+φ=

π

2

，φ=

π

3

，f(x)=sin(x+

π

3

)
當(dāng)-π≤x＜-

π

6

時(shí)，-

π

6

≤-x-

π

3

≤

2π

3

，f(-x-

π

3

)=sin(-x-

π

3

+

π

3

)
而函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱，則f(x)=f(-x-

π

3

)
即f(x)=sin(-x-

π

3

+

π

3

)=-sinx，-π≤x＜-

π

6

∴f(x)=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 2π 3 ] -sinx，x∈[-π，- π 6 )

（Ⅱ）當(dāng)-

π

6

≤x≤

2π

3

時(shí)，

π

6

≤x+

π

3

≤π，f(x)=sin(x+

π

3

)=

2

2

x+

π

3

=

π

4

，或

3π

4

，x=-

π

12

，或

5π

12

當(dāng)-π≤x＜-

π

6

時(shí)，f(x)=-sinx=

2

2

，sinx=-

2

2

x=-

π

4

，或-

3π

4

∴x=-

π

4

，-

3π

4

，-

π

12

，或

5π

12

為所求．
（Ⅲ）由條件得：m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-π，

2π

3

]上恒成立即

x∈[-π 2π 3 ] [f(x)]min＞m-2 [f(x)]max＜m+2

，由圖象可得：

m-2＜0 m+2＞1

∴-1＜m＜2

點(diǎn)評：本題主要考查了利用y=Asin（ωx+∅）的部分圖象確定函數(shù)的解析式．充分利用了三角函數(shù)的定義域，值域，對稱性，周期性等性質(zhì)．