Question

（本題滿分12分）在數(shù)列和中，，，，其中且，.

（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列；

（II）設(shè)，，試問在區(qū)間上是否存在實(shí)數(shù)使得.若存在，求出的一切可能的取值及相應(yīng)的集合；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（II）在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)，使成立，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解析】（Ⅰ）由已知，假設(shè)，，成等比數(shù)列，其中，且彼此不等,則，   ………2分

所以，所以，

若，則，可得，與矛盾；   ………4分

若，則為非零整數(shù)，為無理數(shù)，

所以為無理數(shù)，與是整數(shù)矛盾.      

所以數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列. …………………6分        

（Ⅱ）設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，設(shè)，則，且，

設(shè)，，則，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052323151951564916/SYS201205232317106718229059_DA.files/image033.png">，且，所以能被整除.  …………………7分

（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052323151951564916/SYS201205232317106718229059_DA.files/image025.png">， ，所以；……9分

（2）當(dāng)時(shí)，，

由于，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，能被整除.…………12分

（3）當(dāng)時(shí)，

，

由于，所以，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，能被整除.   ……11分

綜上，在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)，使成立，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.  …………12分