Question

某科研小組對(duì)熱能與電能的轉(zhuǎn)化和燃煤每分鐘的添加量之間的關(guān)系進(jìn)行科學(xué)研究，在對(duì)某發(fā)電廠A號(hào)機(jī)組的跟蹤調(diào)研中發(fā)現(xiàn)：若該機(jī)組每分鐘燃煤的添加量設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為a噸，在正常狀態(tài)下，通過(guò)自動(dòng)傳輸帶給該機(jī)組每分鐘添加燃煤x噸，理論上可以共生產(chǎn)電能x³-x+10千瓦，而由于實(shí)際添加量x與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a存在誤差，實(shí)際上會(huì)導(dǎo)致電能損耗2|x-a|千瓦，最后實(shí)際產(chǎn)生的電能為f（x）千瓦．
（1）試寫(xiě)出f（x）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求f（x）的極大值．
（2）該科研小組決定調(diào)整設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a，控制添加量x，實(shí)現(xiàn)對(duì)最終生產(chǎn)的電能f（x）的有效控制的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，若某次實(shí)驗(yàn)中（單位：噸），用電高峰期間，要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于9千瓦，否則供電不正常．試問(wèn)這次實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駥?shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)知f（x）=x³-x+10-2|x-a|，x＞0
∴f（x）=，
∴，
當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函數(shù)；
x∈[a，+∞），f（x）=3x³-3＞0，f（x）是增函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函數(shù)；
x∈（a，1），f′（x）=3x²-3＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）=3x²-3＞0，f（x）是增函數(shù)．
∴x=a時(shí)，f（x）有極大值f（a）=a³+a+10-2a=a³-a+10．
（2）∵a∈[，1]，x∈[，]，
∴由（1）知f（x）在（，a]上是增函數(shù)，在（a，1）上是減函數(shù)，在（1，）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=min{f（），f（1）}，
∵f（）=（）³++10-2a=，
f（1）=8+2a，f（2）-f（）=4a-．
∴當(dāng)時(shí)，f（1）≥f（），
當(dāng)時(shí)，f（1）＜f（），
故當(dāng)a∈[，）時(shí)，f（x）_min=f（1）=2a+8≥9，可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．
當(dāng)a∈[，1]時(shí)，f（x）_min=f（）=-2a∈[，]，
從而a∈[，]時(shí)，f（x）_min=f（）≥9，a∈[，1]時(shí)，f（x）_min=f（）＜9，
綜上所述，a∈[]時(shí)，能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)；a∈[，1]時(shí)，不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．
分析：（1）由題設(shè)知f（x）=，從而得到，由此能求出0＜a＜1時(shí)f（x）的極大值．
（2）由a∈[，1]，x∈[，]，知f（x）在（，a]上是增函數(shù)，在（a，1）上是減函數(shù)，在（1，）上是增函數(shù)，從而得到f（x）_min=min{f（），f（1）}，由此能求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．