Question

已知在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)x的值滿足cos2x+

3

sin2x-k-1=0，則k的范圍是（　　）

A．0＜k≤1

B．-3≤k≤1

C．0≤k＜1

D．k＜1

Answer 1

分析：利用兩角和正弦公式可得，sin（2x+

π

6

）=

k+1

2

在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可得

1

2

≤

k+1

2

＜1，由此求得k的范圍．

解答：解：方程 cos2x+

3

sin2x-k-1=0，即 2sin（2x+

π

6

）=k+1，即sin（2x+

π

6

）=

k+1

2

．
由x∈[0，

π

2

]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
令2x+

π

6

=t，t∈[

π

6

，

7π

6

]，則由題意可得 sint=

k+1

2

在[

π

6

，

7π

6

]上有2個實(shí)數(shù)解，
即函數(shù)y=sint的圖象和直線y=

k+1

2

 在[

π

6

，

7π

6

]上有2個交點(diǎn)，如圖所示：
結(jié)合圖形可得

1

2

≤

k+1

2

＜1，解得 0≤k＜1，
故選C．

點(diǎn)評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，得到

1

2

≤

k+1

2

＜1，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．