Question

甲和乙參加智力答題活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：①答題過(guò)程中，若答對(duì)則繼續(xù)答題；若答錯(cuò)則停止答題；②每人最多答3個(gè)題；③答對(duì)第一題得10分，第二題得20分，第三題得30分，答錯(cuò)得0分．已知甲答對(duì)每個(gè)題的概率為

3

4

，乙答對(duì)每個(gè)題的概率為

1

3

．
（Ⅰ）求甲恰好得30分的概率；
（Ⅱ）設(shè)乙的得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多30分的概率．

Answer 1

分析：（1）要求甲恰好得30分的概率，我們分析活動(dòng)規(guī)則后可得，甲恰好得30分，說(shuō)明甲前兩題都答對(duì)，而第三題答錯(cuò)，代入分步事件概率公式即可得到答案．
（2）設(shè)乙的得分為ξ，則ξ的取值為0，10，30，60，我們根據(jù)活動(dòng)規(guī)則，分析出ξ取不同值時(shí)的情況，代入概率公式即可求解．（3）要求甲恰好比乙多30分的概率，我們要先分析甲恰好比乙多30分的發(fā)生情況，由（2）的結(jié)論，共有兩種情況，即甲恰好得30分且乙恰好得0分，或是甲恰好得60分且乙恰好得30分，代入概率公式即可求解．

解答：解：（I）甲恰好得30分，說(shuō)明甲前兩題都答對(duì)，而第三題答錯(cuò)，
其概率為(

3

4

)2(1-

3

4

)=

9

64

（II）ξ的取值為0，10，30，60
P(ξ=0)=1-

1

3

=

2

3

，
P(ξ=10)=(1-

1

3

)•(

1

3

)=

2

9

，
P(ξ=30)=

1

3

•

1

3

•(1-

1

3

)=

2

27

，
P(ξ=60)=(

1

3

)3=

1

27

ξ的概率分布如下表：
E(ξ)=0×

2

3

+10×

2

9

+30×

2

27

+60×

1

27

=

20

3

（III）設(shè)甲恰好比乙多30分為事件A，
甲恰好得30分且乙恰好得0分為事件B₁，
甲恰好得60分且乙恰好得30分為事件B₂，
則A=B₁∪B₂，B₁，B₂為互斥事件．
P(A)=P(B1)+P(B2)=(

3

4

)2•

1

4

•

2

3

+(

3

4

)3•

2

27

=

1

8

．
所以，甲恰好比乙多30分的概率為

1

8

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，要想計(jì)算一個(gè)事件的概率，首先我們要分析這個(gè)事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．