Question

已知拋物線C₁：y=x²，橢圓C₂：x²+

y2

4

=1．
（1）設(shè)l₁，l₂是C₁的任意兩條互相垂直的切線，并設(shè)l₁∩l₂=M，證明：點M的縱坐標為定值；
（2）在C₁上是否存在點P，使得C₁在點P處切線與C₂相交于兩點A、B，且AB的中垂線恰為C₁的切線？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）y′=2x，
設(shè)切點分別為（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁² ①
l₂方程為y=2x₂x-x₂² ②
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即x1x2=-

1

4

所以yM=-

1

4

，
即點M的縱坐標為定值-

1

4

．
（2）設(shè)P（x₀，x₀²），
則C₁在點P處切線方程為：y=2x₀x-x₀²
代入C₂方程4x²+y²-4=0
得4x²+（2x₀x-x₀²）-4=0
即（4+4x₀²）x²-4x₀³x+x₀⁴-4=0
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則x3+x4=

x 30

1+ x 20

，x3•x4=

x 40 -4

4+4 x 20

△=16x₀⁶-16（1+x₀²）（x₀⁴-4）=16（4+4x₀²-x₀⁴）＞0   ③
由（1）知yM=-

1

4

從而

y3+y4

2

=-

1

4

，
即x0(x3+x4)-

x

20

=--

1

4

進而得

x 40

1+ x 20

-

x

20

=-

1

4

解得

x

20

=

1

3

，且滿足③
所以這樣點P存在，其坐標為(±

3

3

，

1

3

)．