Question

已知動直線l與橢圓C：交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩不同點，且△OPQ的面積，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均為定值；
（Ⅱ）設線段PQ的中點為M，求|OM|·|PQ|的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在三點D，E，G，使得？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當直線l的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，則，
由在橢圓上，則，
而，則，
于是，；
當直線l的斜率存在，設直線l為y=kx+m，
代入可得，
即，△＞0，
即，
，
，
，
，
則，滿足△＞0，
，
；
綜上可知，。
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，由（Ⅰ）知；
當直線l的斜率存在時，由（Ⅰ）知，
，
，
，
，
當且僅當，即時等號成立；
綜上可知的最大值為。
（Ⅲ）假設橢圓上存在三點D，E，G，使得，
由（Ⅰ）知，
，
解得，，
因此只能從中選取，只能從±1中選取，
因此D，E，G只能從中選取三個不同點，
而這三點的兩兩連線必有一個過原點，這與相矛盾，
故橢圓上不存在三點D，E，G，使得。