【題目】設(shè),動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2p,記動(dòng)圓圓心C的軌跡為E.
Ⅰ
求軌跡E的方程;
Ⅱ
求證:在軌跡E上存在點(diǎn)A,B,使得
為坐標(biāo)原點(diǎn)
是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
【答案】Ⅰ
,
.
Ⅱ
詳見(jiàn)解析。
【解析】
(I)通過(guò)被軸截得弦長(zhǎng)和經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,構(gòu)造出圓心
滿(mǎn)足的方程,整理可得軌跡方程;(II)通過(guò)假設(shè)
點(diǎn)坐標(biāo)以及
,可求得直線(xiàn)
的方程,將
方程與軌跡
聯(lián)立,可表示出
點(diǎn)坐標(biāo);從而可表示出
,再通過(guò)構(gòu)造出函數(shù)
,通過(guò)零點(diǎn)存在定理說(shuō)明
存在零點(diǎn),從而得到
存在,從而證得結(jié)論。
(I)設(shè)動(dòng)圓圓心,半徑為r,
圓C過(guò)點(diǎn)
,
,
圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為2p,
,
由,得
,化簡(jiǎn),得
,
,
軌跡E的方程為
,
.
(II)證明:設(shè),
,則OA的斜率
,
,
的斜率
,
直線(xiàn)AB的方程為
,
聯(lián)立直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)E的方程,得:
,解得
,
,
,
記,
,
,
,則
,
,
記,
,
由題意,記
,
,
,
,
根據(jù)零點(diǎn)存在定理,存在,使得
,從而
,
當(dāng)滿(mǎn)足
時(shí),有
,
此時(shí)是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
在軌跡E上存在點(diǎn)A,B,使得
為坐標(biāo)原點(diǎn)
是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),
,
在圓E上,過(guò)點(diǎn)
的直線(xiàn)l與圓E相切.
Ⅰ
求圓E的方程;
Ⅱ
求直線(xiàn)l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是橢圓
上任一點(diǎn),點(diǎn)
到直線(xiàn)
的距離為
,到點(diǎn)
的距離為
,且
.直線(xiàn)
與橢圓
交于不同兩點(diǎn)
(
都在
軸上方),且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與
軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)
方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線(xiàn),是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論
如何變化,直線(xiàn)
總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.
(1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;
(2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對(duì)理科題的概率均為,答對(duì)文科題的概率均為
,若每題答對(duì)得10分,否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分
的分布列與數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)為
,若
時(shí),
有極值.
(1)求的值;
(2)求在
上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,離心率
,點(diǎn)
在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓
上一點(diǎn),左頂點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
,直線(xiàn)
與
軸交于點(diǎn)
,直線(xiàn)
與
軸交于點(diǎn)
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=,n=
,且m與n的夾角為
.
(1)求角C;
(2)已知c=,S△ABC=
,求a+b的值.
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