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        1. 【題目】設(shè),動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn),且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2p,記動(dòng)圓圓心C的軌跡為E

          求軌跡E的方程;

          求證:在軌跡E上存在點(diǎn)A,B,使得為坐標(biāo)原點(diǎn)是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

          【答案】 詳見(jiàn)解析。

          【解析】

          I)通過(guò)被軸截得弦長(zhǎng)和經(jīng)過(guò)點(diǎn),構(gòu)造出圓心滿(mǎn)足的方程,整理可得軌跡方程;(II)通過(guò)假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)以及,可求得直線(xiàn)的方程,將方程與軌跡聯(lián)立,可表示出點(diǎn)坐標(biāo);從而可表示出,再通過(guò)構(gòu)造出函數(shù),通過(guò)零點(diǎn)存在定理說(shuō)明存在零點(diǎn),從而得到存在,從而證得結(jié)論。

          (I)設(shè)動(dòng)圓圓心,半徑為r,

          C過(guò)點(diǎn),,

          Cy軸截得的弦長(zhǎng)為2p,

          ,得,化簡(jiǎn),得,

          軌跡E的方程為,

          (II)證明:設(shè),,則OA的斜率

          ,的斜率,

          直線(xiàn)AB的方程為

          聯(lián)立直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)E的方程,得:

          ,解得

          ,

          ,

          ,,,則,,

          ,

          由題意,記,

          ,

          根據(jù)零點(diǎn)存在定理,存在,使得,從而

          當(dāng)滿(mǎn)足時(shí),有

          此時(shí)是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

          在軌跡E上存在點(diǎn)A,B,使得為坐標(biāo)原點(diǎn)是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

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          (1)求橢圓的方程;

          (2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)方程;

          (3)對(duì)于動(dòng)直線(xiàn),是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論如何變化,直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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