Question

已知以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)（，0）為右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的離心率。

（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線(xiàn)方程；
（2）如圖，已知過(guò)點(diǎn)M（x₁，y₁）的直線(xiàn)l₁：x₁x+4y₁y=4與過(guò)點(diǎn)N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直線(xiàn)l₂：x₂x+4y₂y=4的交點(diǎn)E在雙曲線(xiàn)C上，直線(xiàn)MN與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于G，H兩點(diǎn)，求的值。

Answer 1

解：（1）設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a，b>0）， 則由題意， 又 因此a=2， C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 C的漸近線(xiàn)方程為 即x-2y=0和x+2y=0。
（2）如圖，由題意點(diǎn)E（xE，yE）在直線(xiàn)l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上， 因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4， 故點(diǎn)M，N均在直線(xiàn)xEx+4yEy=4上， 因此直線(xiàn)MN的方程為xEx+4yEy=4 設(shè)G，H分別是直線(xiàn)MN與漸近線(xiàn)x-2y=0及x+2y=0的交點(diǎn)， 由方程組及 解得， 故 因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線(xiàn)上，有 所以。