Question

已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，M是橢圓上的動點(diǎn)，
（Ⅰ）若C，D的坐標(biāo)分別是（0，），（0，），求|MC|·|MD|的最大值；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），B是圓x²+y²=1上的點(diǎn)，N是點(diǎn)M在x軸上的射影，點(diǎn)Q滿足條件：，，求線段QB的中點(diǎn)P的軌跡方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，
故設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），
設(shè)，
由準(zhǔn)線方程，
由，解得a=2，c=，從而b=1，
橢圓方程為；
又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以，
從而，
當(dāng)且僅當(dāng)|MC|=|MD|，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（±1，0）時上式取等號，
的最大值為4。
（Ⅱ）如圖，設(shè)，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120116/201201161655562651184.gif">，
故，
，①
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120116/201201161655563121001.gif">，
，
所以，②
記P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)，
所以，
由因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120116/20120116165556437989.gif">，
結(jié)合①，②得

，
故動點(diǎn)P的軌跡方程為。