Question

銷售甲，乙兩種商品所得利潤(rùn)分別為P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

．今將3萬元資金投入經(jīng)營(yíng)甲，乙兩種商品，其中對(duì)甲種商品投資x萬元
（1）試建立總利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式
（2）求x為多少時(shí)，總利潤(rùn)y最大？并寫出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）對(duì)甲種商品投資x（萬元），對(duì)乙種商品投資（3-x）（萬元），根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式可得甲、乙兩種商品的總利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）（2）首先要對(duì)（1）的函數(shù)分析，設(shè)

3-x

=m，然后根據(jù)一元二次方程的求最值方法求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意，對(duì)甲種商品投資x（萬元），對(duì)乙種商品投資（3-x）（萬元）．
根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式可得y=

1

5

x+

3

5

3-x

，x∈[0，3]．
（2）設(shè)

3-x

=m，
則m≥0且x=3-m²y=

1

5

x+

3

5

3-x

=

1

5

（3-m²）+

3

5

m
=-

1

5

（m²-3m-3）=-

1

5

（m-

3

2

）²+

21

20

所以當(dāng)m=

3

2

即：

3-x

=

3

2

，
也就是x=

3

4

萬元時(shí)，
總利潤(rùn)最大，y_max=

21

20

萬元
故應(yīng)甲種商品投資

3

4

萬元，對(duì)乙種商品投資

9

4

萬元時(shí)，
總利潤(rùn)最大，最大值為

21

20

萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查配方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．