Question

一個簡單多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，它的正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形，E是PD的中點．

(1)求證：PB∥平面ACE；

(2)求證：PC⊥BD；

(3)求三棱錐C－PAB的體積．

Answer 1

解：(1)證明：依題意，該三視圖所對應的幾何體為側(cè)棱PA垂直于底面ABCD的四棱錐，且PA＝AB＝AD＝1，四邊形ABCD為正方形．

分別連接AC、BD交于點O，連接EO，

∵E是PD的中點，∴PB∥EO.

又PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

∴PB∥平面ACE.

(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC.又PA⊥平面ABCD，

∴BD⊥PA.

又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，

∴PC⊥BD.

(3)∵PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝1，

∴V_C－PAB＝V_P－ABC＝×S_△ABC×PA

＝××1×1×1＝.

∴三棱錐C－PAB的體積為.