Question

【題目】設橢圓方程+=1（a＞b＞0），橢圓上一點到兩焦點的距離和為4，過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，AB=2．

（1）求橢圓方程；

（2）若M，N是橢圓C上的點，且直線OM與ON的斜率之積為﹣，是否存在動點P（x0，y0），若=+2，有x02+2y02為定值

Answer 1

【答案】（1）（2）存在這樣的點P（x0，y0）

【解析】

試題分析：（1）由已知得2a=4，，由此能求出橢圓方程；（2）存在這樣的點P．設M ，N ，由，結合已知條件能推導出存在這樣的點P（x0，y0）

試題解析：（1）因為2a=4，所以，a=2，（2分）

∵過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，AB=2．

∴由橢圓的對稱性知，橢圓過點（c，1），即，（4分）

c2=4﹣b2，解得b2=2，橢圓方程為．（7分）

（2）存在這樣的點P（x0，y0）．設M（x1，y1），N（x2，y2），

則kOMkON==﹣，化簡為x1x2+2y1y2=0，（9分）

∵M，N是橢圓C上的點，∴，，

由=，得，（12分）

∵=（x1+2x2）2+（y1+2y2）2

=（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）=4+4×4+0=20，

即存在這樣的點P（x0，y0）．