Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-x²，x∈[4，5]，對于f（x）值域內(nèi)的所有實數(shù)m，滿足不等式t²+mt+4＞2m+4t恒成立t的集合是（　　）

Answer 1

分析：先利用導數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得f（x）在[4，5]上的值域[0，7]，t²+mt+4＞2m+4t恒成立即（t-2）m+t²-4t+4＞0對任意m∈[0，7]恒成立，令g（m）=（t-2）m+t²-4t+4，則有

g(0)＞0 g(7)＞0

，解出即可．

解答：解：f′（x）=2^xln2-2x，[f′（x）]′=2^xln²2-2，
因為ln2＞ln

e

=

1

2

，所以當x≥4時，[f′（x）]′=2^xln²2-2≥2⁴ln²2-2＞0，
故f′（x）在[4，5]上遞增，且f′（x）≥f′（4）=2⁴ln2-2×4＞0，
所以f（x）在[4，5]上遞增，所以f（x）_min=f（4）=0，f（x）_max=f（5）=7，即m∈[0，7]．
t²+mt+4＞2m+4t恒成立即（t-2）m+t²-4t+4＞0對任意m∈[0，7]恒成立，令g（m）=（t-2）m+t²-4t+4，
則有

g(0)＞0 g(7)＞0

，即

t2-4t+4＞0 (t-2)•7+t2-4t+4＞0

，解得t＜-5，或t＞2，
故選C．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域及函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，或數(shù)形結(jié)合利用函數(shù)圖象處理．