Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，

∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；

（2）解：令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，

∴g′（x）= ．

當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞0，∴g′（x）＞0，則g（x）是（0，+∞）上的遞增函數(shù)．

又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；

當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）= ．

令g′（x）=0，得x= ，∴當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．

因此，g（x）在（0， ）上是增函數(shù)，在（ ，+∞）上是減函數(shù)．

故函數(shù)g（x）的最大值為g（ ）= ≤0．

令h（a）= ．

則h（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

∵h(yuǎn)（1）=﹣2＜0，

∴當(dāng)a≥1時(shí)，h（a）＜0，∴整數(shù)a的最小值為1．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），進(jìn)一步求出f（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式，化簡(jiǎn)可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其導(dǎo)函數(shù)g′（x）= ．可知當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）是（0，+∞）上的遞增函數(shù)．結(jié)合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）= ．求其零點(diǎn)，可得g（x）在（0， ）上是增函數(shù)，在（ ，+∞）上是減函數(shù)．得到函數(shù)g（x）的最大值為g（ ）= ≤0．令h（a）= ．由單調(diào)性可得h（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合h（1）＜0，可得整數(shù)a的最小值為1．