Question

（2011•順義區(qū)二模）已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，離心率是

3

2

．橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別記為A，B．點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x=-

10

3

分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN長度的最小值；
（3）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓C上的T滿足：△TSA的面積為

1

5

．試確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橐阎�離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)，故可解出橢圓的a，c及b，即知橢圓的長半軸長與短半軸長，依定義寫出橢圓的方程即可．
（2）引入直線AS的斜率k，用點(diǎn)斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及點(diǎn)S的坐標(biāo)，又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，故可解 出直線SB的方程，亦用參數(shù)k表示的方程，使其與直線l聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，故線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式選擇單調(diào)性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
（3）在上一問的基礎(chǔ)上求出參數(shù)k，則直線SB的方程已知，可求出線段AB的長度，若使面積為

1

5

，只須點(diǎn)T到直線BS的距離為

2

4

即可，由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為

2

4

的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題即得．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="o5nraki" class="MathJye">

c

a

=

3

2

，且c=

3

，所以a=2，b=

a2-c2

=1
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1
（2 ） 易知橢圓C的左，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，0），B（2，0），直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0
故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(-

10

3

，-

4

3

k)
由{，

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)S（x₁，y₁），則(-2)x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

從而y1=

4k

1+4k2

，即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)
又B（2，0），故直線BS的方程為y=-

1

4k

(x-2)
由

y=- 1 4k (x-2) x=- 10 3

得

x=- 10 3 y═ 4 3k

，
所以N(-

10

3

，

4

3k

)，故|MN|=|

4k

3

+

4

3k

|
又k＞0，所以|MN|=

4k

3

+

4

3k

≥2

4k 3 • 4 3k

=

8

3

當(dāng)且僅當(dāng)

4k

3

=

4

3k

時(shí)，即k=1時(shí)等號(hào)成立
所以k=1時(shí)，線段MN的長度取最小值

8

3

…..（9分）
（3）由（2）知，當(dāng)線段MN的長度取最小值時(shí)，k=1
此時(shí)AS的方程為x-y+2=0，S(-

6

5

，

4

5

)，
所以|AS|=

4 2

5

，要使△TSA的面積為

1

5

，
只需點(diǎn)T到直線AS的距離等于

2

4

，
所以點(diǎn)T在平行于AS且與AS距離等于

2

4

的直線l′上
設(shè)l′：x-y+t=0，則由

|t-2|

2

=

2

4

，解得t=

3

2

或t=

5

2

1當(dāng)t=

3

2

2時(shí)，由

3 x2 4 +y2=1 4x-y+ 3 2 =0 5

得5x²+12x+5=607
由于△=44＞0，故直線l′與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)
②t=

5

2

時(shí)，由

x2 4 +y2=1 x-y+ 5 2 =0

得5x²+20x+21=0由于△=-20＜0，
故直線l′與橢圓C沒有交點(diǎn)
綜上所求點(diǎn)T的個(gè)數(shù)是2．

點(diǎn)評(píng)：本題是解析幾何中直線與圓錐曲線位置關(guān)系中很復(fù)雜的題目，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系中特征有較好 的理解，且符號(hào)運(yùn)算能力較強(qiáng)才能勝任此類題的解題工作，這是一個(gè)能力型的題，好題．