Question

方程f（x）=x的根稱為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且x₁=1000，x_n+1=

1

f(  1 xn )

（n∈N^*），則x₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)

x

a(x+2)

=x轉(zhuǎn)化為二次方程，再由函數(shù)f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不動(dòng)點(diǎn)可求出a的值，然后代入確定函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而可得到x_n+1、x_n的關(guān)系，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到最后答案．

解答：解：由

x

a(x+2)

=x得ax²+（2a-1）x=0．
因?yàn)閒（x）有唯一不動(dòng)點(diǎn)，
所以2a-1=0，即a=

1

2

．
所以f（x）=

2x

x+2

．所以x_n+1=

1

f(  1 xn )

=

2xn+1

2

=x_n+

1

2

．
所以x₂₀₁₁=x₁+

1

2

×2010=1000+

2010

2

=2005．
故答案為：2005

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的知識(shí)、考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的表示法．