Question

已知向量

OA

=（-1，2），

OB

=（1，3），

OC

=（3，m）．
（1）若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件；
（2）若點(diǎn)A，B，C構(gòu)成直角三角形，且∠B=90°，求∠ACO的余弦值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳，B，C能構(gòu)成三角形，所以向量

AB

、

BC

不共線．算出向量

AB

、

BC

的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的條件列式，解之即可得到實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件；
（2）由向量

AB

與

BC

垂直，列出關(guān)于m的方程，解之得m=-1．進(jìn)而得到向量

CA

、

CO

的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到∠ACO的余弦值．

解答：解：（1）∵

OA

=（-1，2），

OB

=（1，3），

OC

=（3，m）．
∴

AB

=

OB

-

OA

=（2，1），

BC

=

OC

-

OB

=（2，m-3）
∵點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，
∴向量

AB

、

BC

不能共線，得2（m-3）≠1×2，所以m≠4，
即m滿(mǎn)足的條件是m≠4
（2）∵

AB

=（2，1），

BC

=（2，m-3）且△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形
∴

AB

•

BC

=2×2+1×（m-3）=0，解得m=-1
可得

OC

=（3，-1），
∴

CA

=

OA

-

OC

=（-4，3），

CO

=-

OC

=（-3，1），
此時(shí)，cos∠ACO=

CA • CO

| CA |•| CO |

=

-4×(-3)+3×1

(-4)2+(-3)2 × 32+12

=

3 10

10

，
∴∠ACO的余弦值等于

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出A、B、C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，求參數(shù)m的取值范圍，著重考查了平面向量共線的充要條件和向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．