Question

如圖是一個組合體．它下部的形狀是高為10m的圓柱，上部的形狀是母線長為30m的圓錐．試問當組合體的頂點O到底面中心O′的距離為多少時，組合體的體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出圓錐的高與半徑，表示出組合體的體積，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定體積的最大值，求出組合體的頂點O到底面中心O′的距離，求解最大值即可．
解答：解：設(shè)圓錐的高為x，半徑為r，則r=   （0＜x＜30）
V（x）=
=
V′（x）=-π（x²+20x-300）
令V′（x）=0解得x=-30（不合題意，舍去），x=10．
當0＜x＜10時，V′（x）＞0，V（x）為增函數(shù)；當10＜x＜30時，V′（x）＜0，V（x）為減函數(shù)
所以當x=10時，V（x）最大．即當OO′=20m時，組合體的體積最大…（9分）
最大體積為．
點評：本題考查組合體的體積的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．