Question

如圖是一個組合體．它下部的形狀是高為10m的圓柱，上部的形狀是母線長為30m的圓錐．試問當組合體的頂點O到底面中心O'的距離為多少時，組合體的體積最大？最大體積是多少？．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)圓錐的高為x，半徑為r，我們易根據(jù)下部的形狀是高為10m的圓柱，上部的形狀是母線長為30m的圓錐得到組合體的體積的表達式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最大值，即可得到答案．
解答：解：設(shè)圓錐的高為x，半徑為r，則（0＜x＜30）（2分）

=（4分）
V′（x）=-π（x²+20x-300）（5分）
令V'（x）=0解得x=-30（不合題意，舍去），x=10．
當0＜x＜10時，V'（x）＞0，V（x）為增函數(shù)；當10＜x＜30時，V'（x）＜0，V（x）為減函數(shù)．（7分）
所以當x=10時，V（x）最大．即當OO′為20m時，組合體的體積最大（9分）
最大體積為：（10分）
點評：本題考查的知識點是組合幾何體的體積，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最大值，其中根據(jù)已知求出組合體的體積的函數(shù)表達式，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，是解答本題的關(guān)鍵．