Question

（2010•撫州模擬）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1．已知G，E分別為A₁B₁，CC₁的中點，D，F(xiàn)分別為線段AC，AB上的動點（不包括端點）．若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍是（　�。�

• A．[

  5

  5

  ，1)
• B．[

  1

  5

  ，2)
• C．[1，

  2

  )
• D．[

  5

  5

  ，

  2

  )

Answer 1

分析：根據(jù)直三棱柱中三條棱兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出F、D的坐標(biāo)，求出向量

DG

， 

EF

，利用GD⊥EF求得關(guān)系式，寫出DF的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值即可．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），E（0，1，

1

2

），
G（

1

2

，0，1），F(xiàn)（x，0，0），D（0，y，0）
∴

GD

=(-

1

2

，y，-1)，

EF

=(x，-1，-

1

2

)
∵GD⊥EF，
∴x+2y-1=0，
∴x=1-2y
DF=

x2+y2

=

(1-2y)2+y2

=

5y2-4y+1

=

5(y- 2 5 )2+ 1 5

∵0＜y＜1
∴當(dāng)y=

2

5

時，線段DF長度的最小值是

1

5

又y=1時，線段DF長度的最大值是 1
而不包括端點，故y=1不能取；
故線段DF的長度的取值范圍是：[

5

5

，1)．
故選A．

點評：本題的考點是點、線、面間的距離計算，主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間直角坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．