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        1. 若函數(shù)f(x)對任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P。
          (1)判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)P,并說明理由。
          ①y=ax(a>1); ②y=x3
          (2)若函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*),求證:對任意i∈ {1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0;
          (3)在(2)的條件下,是否對任意x∈[0,n]均有f(x)≤0,若成立給出證明,若不成立給出反例。
          解:(1)證明:①函數(shù)f(x)=ax(n>1)具有性質(zhì)P
          f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=
           
          因為a>1,
          即f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),此函數(shù)為具有性質(zhì)P;
          ②函數(shù)f(x)=x3不具有性質(zhì)P
          例如,當(dāng)x=-1時,f(x-1)+f(x+1)=f(-2)+f(0)=-8,
          2f(x)=-2,
          所以,f(-2)+f(0)<f(-1),此函數(shù)不具有性質(zhì)P。
          (2)假設(shè)f(i)為f(1),f(2),…,f(n-1)中第一個大于0的值,
          則f(1)- f(i-1)>0,
          因為函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P,所以,對于任意n∈N*,
          均有f(n+1)-f(n)≥f(n)-f(n-1),
          所以f(n)-f(n-1)≥f(n-1)-f(n-2)≥… ≥f(i)-f(i-1)>0,
          所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+…+[f(i+1)-f(i)]+f(i)>0,
          與f(n)=0矛盾,
          所以,對任意的i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0。
          (3)不成立
          例如
          證明:當(dāng)x為有理數(shù)時,x-1,x+1均為有理數(shù),
          f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2-n(x-1+ x+1-2x)=2
          當(dāng)x為無理數(shù)時,x-1,x+1均為無理數(shù),
          f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2=2,
          所以,函數(shù)f(x)對任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),
          即函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P
          而當(dāng)x∈[0,n](n>2)且當(dāng)x為無理數(shù)時,f(x)>0
          所以,在(2)的條件下,“對任意x∈[0,n]均有f(x)≤0”不成立。
          練習(xí)冊系列答案
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          4、若函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都有f(x)<f(x+1),那么( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          若函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x1,x2∈D,均有|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”,
          (1)判斷g(x)=sinx和h(x)=x2-x是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”,并說明理由;
          (2)若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有 |xn+1-xn|≤
          1
          (2n+1)2
          ,設(shè)yn=sinxn,求證:|yn+1-y1|<
          1
          4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在表的同一列.
          第一列 第二列 第三列
          第一行 3 2 10
          第二行 6 4 14
          第三行 9 8 18
          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)若函數(shù)f(x)對任意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=1,數(shù)列{bn}滿足bn=f(0)+f(
          1
          n
          )+f(
          2
          n
          )+…
          +f(
          n-1
          n
          )+f(1)
          ,設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

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