Question

（2012•江門(mén)一模）設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足f(

a

)=

0 ， a = 0 1 | a | a ， a ≠ 0 .

，則對(duì)?

a

、

b

∈V，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（　�。�

• A．f(

  a

  +

  b

  )=f(

  a

  )+f(

  b

  )
• B．f（|

  a

  |?

  a

  +|

  b

  |

  b

  ）=f[f（

  a

  ）+f（

  b

  ）]
• C．f（|

  a

  |?

  a

  ）=f（

  a

  ）
• D．f（|

  b

  |?

  a

  +|

  a

  |

  b

  ）=f[f（

  a

  ）+f（

  b

  ）]

Answer 1

分析：由映射f的對(duì)應(yīng)法則，可得f（

a

）將零向量對(duì)應(yīng)到零向量，將一個(gè)非零向量對(duì)應(yīng)到與之同向的單位向量．由此對(duì)C項(xiàng)進(jìn)行證明，可得對(duì)任意向量

a

均有f（|

a

|•

a

）=f（

a

）成立，得C正確；而對(duì)于A、B、D利用映射f的對(duì)應(yīng)法則結(jié)合向量的運(yùn)算性質(zhì)，分別舉出反例加以說(shuō)明，即可得到A、B、D均不正確．由此得到本題答案．

解答：解：根據(jù)題意，映射f（

a

）的對(duì)應(yīng)法則是將零向量對(duì)應(yīng)到零向量，
將一個(gè)非零向量對(duì)應(yīng)到與之同向的單位向量，因此可得
對(duì)于A，若向量

a

、

b

是方向相反且模不相等的兩個(gè)非零向量，
則f(

a

+

b

)=

1

| a + b |

(

a

+

b

)≠

0

，且f(

a

)+f(

b

)=

1

| a |

a

+

1

| b |

b

=

0

，
所以f(

a

+

b

)≠f(

a

)+f(

b

)，得A項(xiàng)不正確；
對(duì)于B，若向量

a

、

b

是方向相反且模不相等的兩個(gè)非零向量，則|

a

|•

a

+|

b

|

b

不是零向量，
可得f（|

a

|•

a

+|

b

|

b

）=

1

|| a |• a +| b |• b |

(|

a

|•

a

+

|b|

•

b

)≠

0

而f[f（

a

）+f（

b

）]=f（

0

）=

0

，故f（|

a

|•

a

+|

b

|

b

）≠f[f（

a

）+f（

b

）]，可得B項(xiàng)不正確；
對(duì)于C，若

a

=

0

，則f（|

a

|•

a

）=f（

a

）=

0

；
若

a

≠

0

，則f（|

a

|•

a

）=

1

| a |

a

且f（

a

）=

1

| a |

a

，得f（|

a

|•

a

）=f（

a

）
由以上的分析，可得對(duì)任意向量

a

，均有f（|

a

|•

a

）=f（

a

）成立，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，若向量

a

=

0

且

b

≠

0

，則f（|

b

|•

a

+|

a

|

b

）=f（

0

）=

0

而f[f（

a

）+f（

b

）]=f[

0

+

1

| b |

•

b

）=

1

| b |

•

b

≠

0

，
因此，f（|

b

|•

a

+|

a

|

b

）≠f[f（

a

）+f（

b

）]，可得D項(xiàng)不正確
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出定義域?yàn)橄蛄考�的一個(gè)映射f，要我們驗(yàn)證關(guān)于映射f的幾個(gè)等式中哪一個(gè)正確．著重考查了平面向量的線性運(yùn)算法則和映射的概念等知識(shí)，屬于中檔題．