Question

【題目】設橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 上頂點為A，過A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于Q點，且F1恰好是線段QF2的中點．
（1）若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，B是橢圓C的左頂點，過點R（ ，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓C于E、F兩點，直線BE、BF分別交直線x= 于M、N兩點，若直線MR、NR的斜率分別為k1 ， k2 ， 試問：k1k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知A（0，b），F(xiàn)1是線段QF1的中點，

設F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則Q（﹣3c，0），

∵∠QAF1=90°，

∴b2=3c2，

由題意Rt△QAF1外接圓圓心為斜邊的QF1中點F1（﹣c，0），半徑等于2c，

由A，Q，F(xiàn)2，三點恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切，

∴F1（﹣c，0）到直線的距離等于半徑2c，

即 =2c，

解得：c=1，b2=3，a2=4，

∴橢圓的標準方程：

（2）

解：設E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

直線PQ的方程為x=my+ ，代入橢圓方程 ，

4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由B，E，M，三點共線，可知： = ，即yM= ，

同理可得：yN= ，

∴k1k2= × = = ，

由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，

∴k1k2= =﹣ ，

∴k1k2是否為定值﹣

【解析】（1）由題意可知b2=3c2 ， 根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得c的值，求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線PQ方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，求得M和N點的縱坐標，利用斜率公式求得k1 ， k2 ， 利用韋達定理即可求得k1k2 ．