Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點為，，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，當變化時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓幾何條件得，再由離心率解得，即得，（2）由直線與橢圓有兩個交點得判別式大于零，解得m取值范圍，再根據(jù)點斜式寫出線段的垂直平分線方程，解得點坐標，根據(jù)點到直線距離公式得高，根據(jù)弦長公式得底邊邊長，根據(jù)三角形面積公式得面積函數(shù)關系式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.

試題解析：（1）由離心率，半焦距，解得.

所以，所以橢圓的方程是.

（2）解：設，，

據(jù)得

∵直線與橢圓有兩個不同的交點，

∴，又，所以且.

由根與系數(shù)的關系得，

設線段中點為，點橫坐標，，∴，

∴線段垂直平分線方程為，∴點坐標為，

點到直線的距離，

又，

所以

，所以當時，三角形面積最大，且.