Question

△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

（I）求角A的大小；
（II）若f（x）=2cos²（x+A）+cos（2x-2A），求y=f（x）的最小正周期與單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，即a²=b²+c²-bc，由余弦定理，得 cosA=

1

2

，可得A的值．
（II）利用二倍角公式化簡f（x）的解析式為1-cos2x，從而求出周期，求出cos2x的單調減區(qū)間，即為函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答：解：：（I）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，即a²=b²+c²-bc，由余弦定理，得 cosA=

1

2

，
又角A是△ABC的一個內角，∴A=

π

3

．
（II）∵f（x）=2cos²（x+A）+cos（2x-2A）=1+cos（2x+2A）+cos（2x-2A）=1-cos2x，
故函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π．
由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得 kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈z，故單調增區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的應用，余弦函數(shù)的單調性，求出角A的值，是解題的關鍵．