Question

【題目】 某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為，計(jì)劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)曲線符合函數(shù)（其中為常數(shù)）模型．

（1）求的值；

（2）設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為.

①請(qǐng)寫(xiě)出公路長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出其定義域；

②當(dāng)為何值時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②當(dāng) 時(shí)，公路 的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為千米.

【解析】

試題分析：（1）由題意，可知點(diǎn)，的坐標(biāo)，代入函數(shù)可求解得到；（2）①設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，并且切線與，軸分別于，點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo),并表示，②，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求定義域內(nèi)的最值.

試題解析：（1）由題意知，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.

將其分別代入，得，解得

（2）①由⑴得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵，∴切線的方程為，

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線交，軸分別于，點(diǎn)，則，，

∴

②設(shè)，則，令解得，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；

從而，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值.

∴，∴.

答：當(dāng) 時(shí)，公路 的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為千米